פיסיקה אלקטרוסטאטיקה: בטבע יש כמות מטען אחת ויחידה שהיא המטען של האלקטרון. כאשר אומרים שלגוף יש כמות מטען מסוימת הכוונה שיש לו מכפלה במספר שלם של מטען זה. מטען בטבע לא נוצר ולא נעלם ולכן מערכות המשוואות שמתארות מטענים משמרות את המטען. חוק קולון: נסתכל על שני מטענים ו- שמרחקם מהראשית הם ו- בהתאמה: K 9 F K ˆ 9 m הכוח שמטען מפעיל על שווה ל: כאשר K קבוע ששווה ל: מחוק קולון אפשר לראות שאם שני המטענים שווים הם דוחים אחד את השני ואם הם שונים אז הם מושכים אחד את השני. - הכללה לחוק קולון: הכוח החשמלי הכולל הפועל על חלקיק טעון שווה לסכום הווקטורי של כל הכוחות הפועלים עליו ע"י החלקיקים הטעונים שמסביבו. דוגמה : נסתכל על אוסף מטענים שמפוזר בצפיפות מטען מהראשית? שנמצא במרחק פתרון: ( ρ בגוש במרחב, נרצה לדעת מה הכוח שפועל על מטען ' ' נחלק את גוש המטענים לחלקיקים קטנים שכל אחד בעל נפח v, מכאן שהמטען שלו יהיה ( ( v יהיה: והכוח שהוא יפעיל על ρ F To F ρ K ( v ( ' ' ומאחר שהכוח הכולל הוא סכום הכוחות של כל חלקיק אז: K ρ ( v ( ' ' פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
השדה החשמלי: שדה חשמלי בנקודה מסוימת הוא וקטור הכוח שהיה פועל על מטען יחידה סטטי אילו היה באותה נקודה. כל מטען במרחב יוצר סביבו שדה חשמלי ועל מטען חשמלי שנמצא בשדה חשמלי תמיד יפעל כוח. הוא: השדה החשמלי שיפעיל מטען שנמצא בראשית על נקודה מהגדרת השדה החשמלי על מטען K ˆ יפעל כוח ששווה: במרחק F ( ( בדיוק כמו בכוחות השדה החשמלי שמייצרים מספר מטענים בנקודה מסוימת הוא הסכום הווקטורי של השדות שיוצר כל מטען לחוד בנקודה זו. ' ' דוגמה : נסתכל על הדוגמה הקודמת, נרצה לדעת מה השדה שיוצרת התפלגות מטען מסוימת בנקודה? פתרון: בדיוק כמו שעשינו עם הכוחות כאשר שמים במקום מטען בוחן בגודל ואז: To K ρ ( v ( ' ' דוגמה (דיפול חשמלי: שני מטענים שווים והפוכי סימן שנמצאים במרחק מהראשית ובמרחק אחד מהשני נקראים דיפול חשמלי. θ θ To המטען החיובי מייצר שדה בכיוון המתרחק ממנו והשלילי מייצר שדה בכיוון המתקרב אליו אבל הגודל של שני השדות שווה. השדה הכללי כפי שלמדנו הוא הסכום הווקטורי של שניהם. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
אבל נשים לב שהחלקים האופקיים של שני השדות הגודל של שני השדות הוא: K מבטלים אחד את השני ולכן גודל השדה החשמלי הכולל יהיה : K snθ K snθ (. KP ( נגדיר את הדיפול החשמלי להיות Pואז: : אם >> כלומר נקודת הבדיקה שלנו מאוד רחוקה מהדיפול נקבל שהשדה מתנהג כמו ( KP ( KP ( >> דוגמה (שדה של טבעת טעונה: נסתכל על טבעת ברדיוס שטעונה במטען המפוזר בצורה אחידה.נרצה לדעת מה השדה בנקודה על ציר הסימטריה של הטבעת במרחק ממנה? פתרון: θ נחלק את הטבעת ליחידות שטח קטנות באורך, המטען שלה יהיה: λ נסתכל על הציור, נשים לב שמהסימטריה של הבעיה החלק האנכי של השדה שמייצר כל חלקיק תמיד יתבטל על ידי החלק האנכי של השדה שנוצר ע"י החלקיק שממולו. לכן מספיק לסכם רק את הרכיבים האופקיים של וקטורי השדות: K K θ K Z cos ( / Z K K ( ( / / פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
קיבלנו שהשדה שמפעילה טבעת טעונה על נקודה במרחק על ציר הסימטריה שלה הוא: K ( / דוגמה (שדה של דסקה טעונה: דסקה בעלת התפלגות מטען אחידה טעונה במטען אחיד. מהו השדה החשמלי שהיא מייצרת בנקודה במרחק על ציר הסימטריה שלה? פתרון:.σ צפיפות המטען השטחית במקרה זה היא: נחלק את הדסקה לטבעות ברדיוס ועובי, עבור כל אחת מהטבעות אנו יודעים שהשדה שלה הוא בכיוון ציר הסימטריה לכן ניתן להגיד שזה גם כיוון השדה הכולל של הדסקה. שטח הטבעת הוא לכן המטען עליה יהיה σ ( ( ולכן התרומה של כל טבעת כזו לשדה תהיה (לפי הדוגמה הקודמת: K K Z ( / ( / ולכן השדה הכולל יהיה הסכום שלהם כלומר: Z K K ( / ( / K ( / פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
( << נסתכל על המקרה שבו >> כלומר במקרה זה : K σ כעת נסתכל על המקרה שבו << במקרה זה : f ( x ( / >> / x לכן אם נסמן אזי אם נפתח את הפונקציה לטור טיילור נקבל : f ( x ( x ( x x...! >> נציב למשוואת השדה ונקבל: כלומר ההתנהגות של השדה החשמלי של דסקה במרחק מאוד גדול תהיה כמו של מטען נקודתי. חוק גאוס: חוק גאוס נותן את הקשר בין התפלגות מטענים חשמליים במרחב לבין השדה החשמלי. סכום המטענים בתוך נפח מסוים שווה לשטף של השדה החשמלי על השטח הסגור של מעטפת n Φ : הנפח כפול הקבוע נסביר מה זה בעצם השטף של השדה החשמלי. נחלק את המעטפת של הנפח שברצוננו לנתח לשטחים קטנים שמכסים את כל המעטפת. מאחר ולכל שטח כזה יש גודל וכיוון נאפיין אותו ע"י וקטור, שנקרא וקטור השטח, שגודלו כגודל השטח וכיוונו ניצב לשטח החוצה מהנפח. אם נכפיל סקלרית את הווקטור בווקטור השדה שעובר דרך השטח נקבל סקלר. השטף החשמלי מוגדר להיות האינטגרל על כל השטח של סקלרים אלה, כלומר: Φ פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
הקשר גאוס קולון:. ( ˆ ( נסתכל על כדור ברדיוס עם מטען במרכזו. משיקולי סימטריה השדה יהיה בכיוון הרדיאלי הוא גם תמיד בכיוון הרדיאלי מקבלים: מכיוון שגם ואז: ( n ( קיבלנו את חוק קולון!, ואז: ( כעת עבור אותו כדור נראה שאם חוק קולון מתקיים אז חוק גאוס נכון: כידוע אם חוק קולון מתקיים אז עבור המטען מתקיים: ˆ קיבלנו את חוק גאוס!. הוכחנו את חוק גאוס עבור כדור, אבל כדור זה מקרה פרטי, נוכיח את המקרה הכללי: נסתכל על מעטפת כללית, נבנה כדור סביב המטען, עבור כדור זה מתקיים: θ מעבירים מהמטען שני קרניים שיוצרים שני שטחים אינפידצמליים: אחד על הכדור והשני על המעטפת. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 6
( (, ( ( cosθ נסתכל על היחס הבא: Φ Φ oume ( ( cosθ cosθ לכן: מהמכפלה הסקלרית העליונה כפי שניתן לראות היחס בין השטף של הכדור לשטף של המעטפת הכללית הוא כלומר הם שווים וזה מה שרצינו להוכיח. דוגמה : נסתכל על מטען שנמצא מחוץ לנפח סגור כלשהו, במקרה זה מאחר שווקטור השטח מצד אחד הפוך לזה שבצד השני נקבל: Φ up ( Φown ( כלומר כמות השטף שנכנסת מצד אחד שווה לכמות השטף שיוצאת מהצד השני. לכן מטען שנמצא מחוץ למעטפת של גוף לא ישנה את השטף החשמלי שלה! דוגמה : כדור מלא טעון בצפיפות מטען אחידה במטען. מה השדה החשמלי שיוצר הכדור הזה בנקודה במרחק? פתרון: נחלק את הבעיה לשני מקרים: :< נבנה כדור גאוסיאני שמרכזו הוא מרכז הכדור החיצוני ורדיוסו, עבור כדור זה מתקיים: ( n פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo המטען בתוך הכדור הקטן היחס בין נפחי שני הכדורים 7
. ( לכן עבור < נקבל: :< נבנה כדור גאוסיאני שמרכזו הוא מרכז הכדור החיצוני ורדיוסו, עבור כדור זה מתקיים: ( n מחוץ לכדור הטעון אין מטען לכן לכל > המטען בפנים יהיה. ( לכן עבור < נקבל: ( נראה את ההתנהגות של השדה בגרף הבא: דוגמה : תיל אינסופי טעון במטען בצפיפות אורכית פתרון: אחידה, λ מה השדה החשמלי בנקודה במרחק מהתיל? נבנה סביב התיל גליל גאוסיאני בעל רדיוס ואורך, השדה החשמלי שיוצר כל חלק מהתיל יהיה ניצב למעטפת של הגליל. נשים לב שמאחר והתיל אינסופי בכל הנקודות עם אותו מרחק ממנו יהיה לשדה החשמלי אותו גודל. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 8
מזה ניתן להסיק שאין שטף דרך המעטפות הצדדיות של הגליל כי שם וקטור השטח תמיד יהיה ניצב לווקטור השדה ומכפלתם הסקלרית תהיה אפס. לכן נוכל לסכם: ( n λ ( ( λ מוליכים: מוליך: חומר שמכיל מטענים שחופשיים לנוע בתוכו. טענה : בכל נקודה בתוך המוליך השדה החשמלי שווה אפס (במצב הסטטי. נניח שהטענה הנ"ל לא נכונה, אזי אם יש שדה חשמלי בתוך המוליך הוא יגרום לכוחות על המטענים החופשיים בתוכו, מטענים אלה יתחילו לנוע בכיוון או נגד כיוון השדה. כידוע מטען מייצר שדה חשמלי לכן מטענים אלה ייצרו שדה חשמלי שיאפס את השדה בתוך המוליך ונגיע למצב שאין בו שדה באף נקודה. - - - - - טענה : אם מוליך כלשהו טעון אז כל המטען שלו נמצא רק על שטח הפנים שלו. הטענה הזאת נובעת מזה שמטענים דומים תמיד ידחו אחד את השני עד שיגיעו בסוף לצורה עם המרחק הכי גדול ביניהם. נסתכל על משטח טעון כלשהו ונבנה משטח גאוסיאני המקביל למשטח המקורי בכל הנקודות שלו כאשר המרחק ביניהם מאוד קטן. לפי חוק גאוס עבור משטח זה יתקיים: n - אבל לפי טענה ראינו שאין שדה בתוך המוליך כלומר ולכן צד שמאל שווה אפס n ומזה נובע בהכרח ש לכן המטען יכול להצטבר רק על המעטפת החיצונית. טענה : המטענים על שפת המוליך מייצרים שדה חשמלי מסביב לשפה שכיוונו בכל נקודה ניצב לשפה וגודלו שווה לצפיפות המטען המשטחית המקומית לחלק ל. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 9
אם השדה החשמלי לא מאונך לשפת המוליך אז ניתן לפרק אותו לשני רכיבים, הרכיב שמקביל לנקודה עצמה יפעיל כוח על המטענים שמסביבו עד שהם יסתדרו ויצרו שדה חשמלי הפוך שיבטל אותו. נוכיח את החלק השני של הטענה (גודל השדה: - נבחר מעטפת גאוסיאני גלילית כך שהחצי הראשון שלה יהיה בתוך המוליך והחצי השני מחוצה לו: ( σ מחוק גאוס נקבל: n σ וקיבלנו את מה שרצינו להוכיח: רק דרך שטח המכסה העליון של הגליל יש שטף. השדה ווקטור השטח על השפה הצדדית ניצבים לכן מכפלתם אפס אין שדה בתוך המוליך לכן אין שטף בפנים. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
דוגמה : והחיצוני לא טעון. כדור קטן מלא נמצא בתוך כדור חלול כאשר שניהם מוליכים. הכדור הפנימי טעון במטען המטען על הכדור הפנימי יגרום למטען מושרה על הכדור החיצוני, לכן על השפה הפנימית של הכדור החיצוני יצטבר מטען, כתוצאה מזה תחל תנועה של מטענים חיוביים ועל המעטפת החיצונית יצטבר מטען. נחשב את השדה הנוצר ע"י המערכת בכל נקודה בעולם: :< הכדור הקטן מוליך לכן המטענים מצטברים על השפה שלו ואין בפנים מטען. לכן מחוק גאוס. :<< ראינו בדוגמה קודמת שהתנהגות השדה של כדור טעון היא לפי חוק קולון. לכן: ˆ גם כאן אנחנו נמצאים בתוך מוליך לכן. : <<. ˆ לכן השדה יהיה: המטען בפנים שווה לסכום המטענים כלומר : > דוגמה : נחבר את שני הכדורים מהדוגמה הקודמת עם חוט מוליך, כל המטען על הכדור הפנימי יעבור לקליפה החיצונית של הכדור הגדול והמטען על הכדור הקטן יתאפס, במקרה זה גם על הקליפה הפנימית של הכדור החיצוני לא יהיה מטען. כעת טוענים את הכדור הפנימי שוב במטען, שוב מטען זה ישרה מטען - על המעטפת הפנימית של הכדור הגדול שתגרום להיווצרות מטען נוסף על המעטפת החיצונית שלו, כלומר יצטבר עליה מטען. אם מחברים שוב את שני הכדורים בחוט מוליך המטען של הכדור הפנימי יעבור לקליפה החיצונית של הכדור החיצוני ונקבל מטען על המעטפת החיצונית. אם נמשיך בצורה הזאת נוכל לטעון את הכדור החיצוני בכל מטען שנרצה. דוגמה : לוח אינסופי טעון במטען בצפיפות משטחית σ. מה השדה החשמלי בכל נקודה בעולם? y x בגלל הסימטריה של לוח אינסופי השדה לא תלוי ב x ו- y אבל הוא כן תלוי ב. נשים לב שהשדה בנקודה כלשהי שווה לשדה בנקודה - רק בסימן הפוך. נבנה משטח גאוסיאני בצורת קובייה שהלוח חותך אותה באמצע. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
בפאות האמצעיות השטף לפי חוק גאוס: מתאפס כי וקטור השדה השטף בפאות הצדדיות ניצב לווקטור השטח. ( σ n σ לכן השדה של לוח אינסופי הוא: קו שדה: קו שהשדה משיק לו בכל נקודה ונקודה. להלן מספר סקיצות של שדות חשמליים: פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
הפוטנציאל החשמלי: הגדרה: כמות העבודה הנעשית כנגד כוחות השדה החשמלי הנדרשת להעביר מטען מהנקודה לנקודה נקראת הפרש הפוטנציאלים בין ל-. W אז - אם משקיעים עבודה. > (W > - אם מקבלים עבודה (W < היחידות של הפרש הפוטנציאלים הם וולט:. אז < [ W] Jue [ ] o [ ] oom דוגמה : - נסתכל על שתי נקודות ו- ומטען. במעבר בין ל- אנחנו מקבלים עבודה כי המטען ידחוף את המטען שעובר מ ל-, לכן.W < - כעת נניח שהמטען הוא ונרצה לנוע כמו קודם מהנקודה הקרובה לנקודה הרחוקה. הפעם צריך להשקיע עבודה כי המטען ימשוך את המטען שלנו. ש נרצה כעת לעבור מהנקודה ל- כאשר שתיהן נמצאות על קשת באותו מרחק מהמטען. מאחר והפוטנציאל בשתי הנקודות שווה (כי יש להן אותו מרחק מקבלים Wכלומר העבודה היא אפס. - הערה: מאחר והפרש פוטנציאלים חשמלי הוא הפרש בין שני גדלים אף פעם לא נתייחס אליו כערך מוחלט אלא כהפרש כהגדרתו. כאשר אומרים שהפוטנציאל שווה לערך מסוים בנקודה מסוימת.( הכוונה היא להפרש הפוטנציאלים בין נקודה זו לאינסוף כאשר מגדירים פוטנציאל חשמלי של כל נקודה בעולם: W ( זה העבודה הנדרשת כדי להביא מטען מהאינסוף לנקודה. נשים לב שאפשר לדבר על הפרש פוטנציאלים רק בתנאי שהשדה החשמלי הוא שדה משמר, כלומר כמות העבודה שצריך להשקיע במעבר מנקודה אחת לשנייה לא תלוי במסלול. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :רמשמ הדש אוה יטטסה ילמשחה הדשהש חיכונ.םיילמצדיפניא םיקלחל ותוא קלחנו והשלכ יללכ לולסמ לע לכתסנ רשי וקב הלעמלו לגעמ לש תשק תרוצב הנימי וקה םע םיכלוה םיעצבמ אל םייתשקה םיקלחה,הדשה ןוויכב.חוכה/הדשה ןוויכל םיבצינ םה יכ הדובע,הדובע ועצבי רשי וקב העונתה לש םיקלחה קר המ הנשמ אל ןכל היהת דימת הדובעה לולסמה היהי ב תרבועש תשקה ןיב קחרמה יפל ב תרבועש תשקל תכלל ומכ רמולכ סוידרמ סוידרל. :הדשל לאיצנטופה ןיב רשקה תא אצמנ F W ( (
משטח אקוויפוטנציאלי זה משטח שיש לו את אותו השדה בכל נקודה עליו כלומר כל שתי נקודות עליו הן בעלות אותו פוטנציאל חשמלי. מעבר מנקודה אחת לשנייה על משטח כזה לא דורשת עבודה. משטח כזה תמיד ניצב לקווי השדה שלו. - - למשל: משטח אקוויפוטנציאלי דוגמה : נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הנקודה לנקודה על לוחות של קבל לוחות רגיל. > > W נחשב את הפרש הפוטנציאלים של שתי נקודות שנמצאות על אותו קו יחסית למטען כלשהו. W < < פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
אם נבחר ו- אז נקבל את הפוטנציאל החשמלי שעושה מטען חשמלי בגודל בנקודה במרחק ממנו: ( הפוטנציאל שמספר מטענים עושים בנקודה מסוימת שווה לסכום הפוטנציאלים שכל מטען מהם עושה באותה נקודה.. ρ נרצה לדעת למה שווה הפוטנציאל בנקודה. ' ρ ( v' דוגמה : נסתכל על צפיפות מטען כלשהי בעלת צפיפות מטען נפחית כלשהי במרחק? נחלק את הגוף לנפחים קטנים 'v, לכל נפח כזה יש מטען ' ' ( ' ' לכן: ρ( ' v' ' דוגמה : דסקית ברדיוס עם צפיפות מטען משטחית אחידה σ. מה הפוטנציאל החשמלי בנקודה במרחק על ציר הסימטריה שלה?. פתרון: נחלק את הדסקית לטבעות ברדיוס ועובי σ s σ המטען על כל טבעת כזו יהיה: ( σ σ ( / ( / σ לכן תרומת כל טבעת לפוטנציאל תהיה: ( נבדוק את התוצאה, באינסוף הדסקית תיראה כמו נקודה: ( σ σ לפי התיאוריה: פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 6
7 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :האצותה יפל ( ( σ σ σ.הל וניפיצש האצותה תא ונלביק ןכאו המגוד :5 סוידר לעב רודכ ןעטמב ןועט סוידר לעב ינש רודכו ןעטמב ןועט דחא דואמ םיקוחר םירודכה ינש. ןעטמה,ךילומ טוח םע םירודכה ינש תא םירבחמ.ינשהמ ןעטמל ךפוה ןעטמהו ןעטמל ךפוה -ש עודי ןעטמה רומיש קוחמ.. :ןכל הווש היהי םהינש לש לאיצנטופה םירבוחמ םירודכהו רחאמ σ σ σ σ.ולש סוידרל הכופה תילאנויצרופורפ היהת רודכ לכ לע השדחה ןעטמה תופיפצש ונלביק המגוד :6 ןעטמב ןועט ךילומ רודכ?םהינש ןיב םילאיצנטופה שרפה והמ. ןעטמב ןועטש רחא ךילומ רודכ ךותב אצמנ תא בשחלו םירודכה ינש לע תודוקנ יתש לכ רוחבל לכונ ןכל םילאיצנטופיווקא םה םירודכה ינשש בל םישנ.ןהיתש ןיב םילאיצנטופה שרפה. :ש קיסהל ןתינ האצותהמ שרושה לש רולייט רוט ןכל םינפב הדש השוע אל ינוציחה רודכה.ימינפה רודכה לש הדשה תא קר םימש > >
, ברור שכדי להגיע למעבר ( עד עכשיו למדנו איך לבצע את המעבר מהשדה לפוטנציאל צריך לבצע פעולה מתמטית הפוכה. אבל השדה הוא וקטור ( ההפוך כלומר למעבר והפוטנציאל הוא סקלר... לפתרון בעיה זו נשתמש באופרטור שנקרא הגרדיינט. v נתון קו אקוויפוטנציאלי עם פוטנציאל ובאזור מאוד קרוב אליו יש קו דומה עם פוטנציאל. v השדה החשמלי בנקודה כלשהי על הקו הראשון יהיה בכיוון θ החוצה (כי הפוטנציאל על הקו העליון יותר גדול. אם נרצה לעבור מנקודה זו לנקודה אחרת על הקו השני בזווית θ מהשדה אז העבודה שנצטרך לבצע תהיה: F ( W cos( θ cosθ cos( θ cosθ דרך אחרת לחישוב העבודה היא: W ( W W ( v v נשווה את שני הביטויים שקיבלנו ונקבל: cosθ v cosθ v. v cosθ זה רכיב השדה החשמלי בכיוון ההליכה עם סימן מינוס לכן נוכל לסכם: נסתכל כעת על מערכת קרטזית עם הצירים, x,y, נחלק את השדה לשלושת מרכיביו ונגזור אותם רכיב רכיב קודם x אח"כ y ואז. נסמן:, y, x x y y x את השדה נוכל לכתוב בצורה: ( xˆ yˆ ˆ x y ( ( נסמן: x xˆ y yˆ כאשר הגרדיינט מוגדר להיות: ˆ פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 8
v cosθ בין שני קווים אקוויפוטנציאלים, הערך הזה יכול בדוגמה האחרונה ראינו את הקשר להיות מקסימאלי אם θכלומר אם כיוון ההליכה מקביל לשדה. הגרדיינט של שדה סקלרי נותן שדה וקטורי שמצביע לכיוון שבו השדה הווקטורי הוא הכי חזק. הערה: במקרה של סימטריה כדורית יותר קל להשתמש בקואורדינאטות כדוריות מאשר בקרטזיות, במקרה. (, θ, ϕ ( ˆ נשים לב ש ולכן אבל, θ, כזה הפוטנציאל (ϕ ϕ θ דוגמה:. מהו השדה החשמלי? K נתון הפוטנציאל פתרון: K K ˆ בקואורדינאטות כדוריות: ˆ בקואורדינאטות קרטזיות: ( ( x K y / קודם כל נעביר את הפוטנציאל לקואורדינאטות קרטזיות: x xˆ yˆ ˆ K y ( ( x x ˆ y y ˆ ˆ x y K ( ( K ˆ למרות שקיבלנו את אותה התוצאה ברור שעדיף לעבוד עם קואורדינאטות כדוריות במקרה זה כי זה יותר קל. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 9
אנרגיה פוטנציאלית חשמלית: האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של מערכת מטענים היא העבודה שצריך לבצע כדי להביא את כל המטענים במערכת מהאינסוף לנקודה שבה הם נמצאים. האנרגיה הזאת אגורה במערכת ולכן אם נחזיר את המטענים לאינסוף נקבל בחזרה את כל העבודה שהשקענו. - נסתכל למשל על מערכת שני המטענים הבאה: מהי האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית האגורה במערכת? בהתחלה נביא את המטען הראשון מהאינסוף לנקודה, הבאת המטען הזה לא דורשת עבודה כי בהתחלה אין מטענים ולכן אין פוטנציאל חשמלי. בשלב השני נביא את המטען השני מהאינסוף לנקודה, בשלב זה כבר יש מטען שיוצר פוטנציאל חשמלי, לכן להבאת המטען השני מהאינסוף נצטרך להשקיע אנרגיה נגד הפוטנציאל. לסיכום האנרגיה החשמלית האגורה במערכת היא: U ( הערה: סדר העברת המטענים החשמליים לא משנה ובכל סדר נקבל את אותה התוצאה. U - כעת נסתכל על מערכת של n מטענים שיושבים על הווקטורים עד. n נרצה לחשב את האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת זו. ( [ ( ( ] [ ( ( ( ]... ואז: j j נסמן: U n n n j j, j j, j j, j > j j j j במעבר ל שונה מ- לכן מכפילים בחצי. j כל איבר חושב פעמיים דוגמה : על כל אחד מקודקודיו של משולש שווה צלעות בעל צלע מהי האנרגיה האגורה במערכת? נחשב את האנרגיה בשתי שיטות: יש מטען, פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
U שיטה (הבאת המטענים אחד אחד מהאינסוף: מטען שלישי מטען שני מטען ראשון שיטה (לפי הנוסחה האחרונה: U n j, j j ρ( - מאחר ואינטגרל הוא סכום, עבור כל התפלגות מטענים רציפה בעלת התפלגות מטען נפחית נוכל לחלק אותה לנפחים אינפידצמליים, להעביר את הסכום לאינטגרל ולקבל: U n, j j j ( ρ ( u U כלומר u כאשר היא תרומת הנפח הקטן לאנרגיה הכללית של המערכת. דוגמה : כדור עם רדיוס טעון במטען בצורה אחידה. מהי האנרגיה האגורה בכדור? פתרון: אפשר לחלק את הכדור לטבעות ברדיוס ועובי, אז נבנה אותו כך שבכל פעם נביא טבעת כזו ונוסיף את התרומה שלה לאנרגיה u. ρ ( - המטען על כל טבעת הוא: ( - המטען שכבר הצטבר בכדור ברדיוס כפי שראינו בדוגמה קודמת הוא: ( פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - סוידרב תעבט לכ תפסוה לש המורתה ןכל :היהת ( u 6 5 5 5 6 6 u U :סנגרווד תפטעמ חטש לעב בחרמב רוגס חטשמ לע לכתסנ S. חפנו יהי.בחרמב והשלכ ירוטקו הדשF הדשה לש ףטשה תא בשחל הצרנ F חטשה ךרד.S איה הרוגס תפטעמ ךרד ירוטקו הדש לש ףטשה לש החסונהש רבכ וניאר : Φ F F.,רלקס תנתונו םירוטקו תודש לע תלעופש סנגרוודה תארקנש השדח הלועפ רידגנ סנגרוודה תרזעב,יחפנ לרגטניאל יחטשמ לרגטניאמ ףטשה לש החסונה תא ריבעהל לכונ :רמולכ ( Φ S F F F :רידגנ ( F y F x F y y x x F y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y x F F y F x F :הנעט ( S :ש עודי סואג קוח יפל n :ןכל ( n S ρ
הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :םיפגא םיריבעמ ( ρ ב האוושמה תא קלחנ : ρ םייקתת הזכ רודכ לכל יזא והשלכ ינאיסואג רודכ הביבס הנבנו םלועב הדוקנ לכ רחבנ םא ןכל :םייקתי םלועב הדוקנ לכל חרכהב ןכלו ל"נה האצותה ρ. :זא ותוא הרציש ןעטמה תוגלפתה יהמ תעדל םיצורו םלועה לכב ילמשחה הדשה ןותנ םא רמולכ n ρ :המגוד סוידרב רודכ. דיחא ןעטמב ןועט :איה הזכ רודכ לש ןעטמה תופיפצ :אוה ולש ילמשחה הדשהו :< ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ yy xx y y x x :סואג קוח תא ונלביק ρ ρ > <,, ( ρ > < ˆ, ˆ, (
הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :> ( ( ( / / / y x y x y y y x x x 5 5 5... y x ( 5 y x :סלפלו ןוסאוופ תאוושמ :ןעטמה תופיפצל הדשה ןיב רשק שיש וישכע דע וניאר ρ. :ילמשחה לאיצנטופל הדשה ןיב רשק שיש םג וניאר ( (.,ןעטמה תופיפצל ילמשחה לאיצנטופה ןיב רשק תויהל בייח ןכל :אוה הז רשק ( ( ρ ( y y x x y y x x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :םכסנ ןכלו :ןוסאוופ תאוושמ ρ סלפל תאוושמ םא ρ :( y x y x ןאיסלפל
ו דוגמה (לתרגול עצמי: מוליכים טעונים ומבודדים אחד מהשני מונחים במרחב. הפוטנציאלים על הגופים הם. מהו הפוטנציאל בכל נקודה בעולם? פתרון:.,, - עם תנאי השפה פותרים את המשוואה של לפלס. דוגמה : טענה: אם בגוף מוליך יש נפח ריק בתוכו אז אם בתוך חלל זה אין מטענים אז גם אין שדה בפנים. הוכחה: בגלל שאין מטענים בתוך החלל משוואת לפלס חייבת להתקיים כלומר השפה הפנימית של מוליך הפוטנציאל תמיד יהיה קבוע, נניח ons.., כמו כן על נשים לב ש בתוך החלל הוא פתרון של משוואת לפלס אבל כידוע למשוואה זו יש תמיד פתרון אחד ויחיד לכן הוא פתרון יחיד. אנו יודעים ש שרצינו להוכיח. סיכום ביניים:, נציב ונקבל: קולון /גאוס כלומר השדה בפנים הוא אפס וזה מה ρ קולון פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
קבלים: קבל: זה שני מוליכים מבודדים אחד מהשני כאשר אחד מהם טעון במטען והשני במטען -. היחס בין המטען על הקבל לבין הפוטנציאל בין שני המוליכים נקרא קיבולת, המשמעות שלה זה כמה מטען צריך לשים על הקבל כדי ליצור הפרש פוטנציאלים מסויים. יחידות: [ ] oom [ ] [ ] o F דוגמה : קבל מורכב משני לוחות אינסופיים טעונים שהמרחק ביניהם הוא. רוצים לדעת מה השדה שהוא מייצר? פתרון: בונים משטח גאוסיאני בצורת קובייה שהלוח של הקבל חוצה אותה לשתיים. לפי חוק גאוס: n ( σ σ שדה חשמלי של קבל לוחות: ואז: נציב את השדה ונקבל: σ הערה: בכל קבל המשוואה של הקיבולת תהיה מכפלה של ערך ביחידות אורך שתלוי. בגיאומטריה של הקבל כפול פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 6
7 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - : המגוד םיסוידר םע תוירודכ תופילק יתשמ בכרומ לבק -ו.םיווש ןהלש םינעטמה ינש רשאכ :אוה םירודכה ינש ןיב הדשה ˆ. ( ( ( -.הז לבק רובע תמייקתמ הנורחאה הרעההש תוארל ןתינ - רובע הרקי המ?,!יפוסניא תוחול לבק לש האוושמה תא לבקנ הזכ הרקמב : המגוד םיסוידרב םייפוסניא םילילג ינש?םהלש לוביקה והמ.לבק םיווהמ םינועט -ו :ןורתפ,םילילגה ינש ןיב אצמנש ילילג ינאיסואג חטשמ הנבנ :זא n n( n( n(
חיבור קבלים במקביל: נחבר מספר קבלים במקביל: המטען הכולל של המערכת שווה לסכום המטענים של כל אחד מהקבלים:. הפוטנציאל החשמלי על כל אחד מהקבלים שווה לכן: לפי הנוסחה נוכל לרשום: To כלומר בחיבור קבלים במקביל נוכל להחליף אותם בקבל אחד שהקיבול שלו הוא: To. חיבור קבלים בטור: נחבר מספר קבלים בטור: הפעם המטען מתפזר על הקבלים באופן שווה ומתקיים גם To מנוסחה זו נקבל: כלומר בחיבור קבלים בטור נוכל להחליף אותם בקבל אחד שהקיבול שלו הוא: To To פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 8
חומרים די-אלקטריים: חומר די-אלקטרי הוא חומר שמכיל מטענים שקשורים לאטומים של החומר וחופשיים לנוע סביבם בתנועות מקומיות. ההבדל בין חומר די-אלקטרי לחומר מוליך הוא שבמוליך המטענים לא קשורים לאטומים ולכן חופשיים לנוע בתנועות מיקרוסקופיות בחומר ולא רק סביב אטום מסוים. נכניס גוש אחיד של חומר די-אלקטרי בין שני לוחות של קבל, תמיד היחס בין הקיבול של הקבל בריק לבין הקיבול שלו עם החומר הדי-אלקטרי יקיים: wh_ D.. whou_ D.. K כלומר אם שמים חומר די-אלקטרי בין שני לוחות של קבל הקיבולת שלו תגדל בגודל K שהוא קבוע שתלוי רק בסוג החומר הדי-אלקטרי. לכן נוכל לסכם שהקיבולת של קבל כלשהו היא: K ערך במטרים של הקבל שתלוי בגיאומטריה אז למה הקיבולת גדלה עם הוספת חומר די-אלקטרי? השדה החשמלי של הקבל גורם לחלקיקים בחומר הדי-אלקטרי להסתדר כמו בציור משמאל, לכן ליד הלוח הטעון חיובית נוצרת שכבה של מטענים שליליים - וליד הלוח הטעון שלילית נוצרת שכבה של מטען הטעון חיובית. כתוצאה מזה המטען האפקטיבי בין שני לוחות הקבל נהיה יותר קטן ולכן הפרש הפוטנציאלים נהיה קטן יותר לכן מהנוסחה הקיבולת חייבת לגדול. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 9
הוכחה: נסתכל על קבל לוחות כאשר פעם הוא בריק ופעם הוא מכיל חומר די-אלקטרי. ' ' נבנה קופסאות גאוס כמוראה בציור (הקווים המקווקווים כאשר פאה אחת עוברת דרך המוליך והפאה השנייה עוברת דרך החומר הדי-אלקטרי. ( ' ' n לפי חוק גאוס: ' ' ואז הפרש הפוטנציאלים יהיה: ' ' ראינו שזה שווה לקיבולת קבל לוחות בריק לפי הגדרה זוהי קיבולת הקבל עם חומר די-אלקטרי ( ' K ' c ( K ' ( K ' K מאחר ו- אז כלומר המטען האפקטיבי קטן. - פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
' ראינו ש: ' ( (( k K K Kכלומר קיבלנו שהשדה החשמלי קטן פי K כלומר גם קטן, מאחר והמטען החשמלי הכולל. לא משתנה אזי בהכרח חייב לגדול כדי לשמור על היחס נניח שדאגנו לכך שגם אחרי הכנסת החומר הדי-אלקטרי הפוטנציאל יישאר קבוע אז אם נסמן להיות המטען בהתחלה נקבל שהמטען החדש הוא. K לכן בגלל נקבל שאם הקיבולת בריק הייתה K. שהפוטנציאל לא משתנה ומהנוסחה K הקיבולת החדשה תהיה - ראינו שבמקרה של קבל עם חומר די-אלקטרי מתקיים לפי חוק גאוס: ' (( K K ( K K כלומר: נגדיר: K ואז נוכל לכתוב את חוק גאוס למקרה הכללי: n n הכוונה פה ב n הם רק המטענים החופשיים. הערה : נניח שאנחנו נמצאים בעולם הבנוי מחומר די-אלקטרי אחיד ובתוכו יש מטען. מסביב למטען יושרה מטען שלילי לכן המטען נטו יהיה יותר קטן מ לכן השדה החשמלי יקטן. ואז: כלומר באופן כללי אם יש מטענים בחומר די-אלקטרי אחיד אז חוק. קולון יעבוד גם שם בתנאי שמשתמשים ב של החומר במקום - פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
: D נגדיר שדה וקטורי חדש שנקרא ההעתק החשמלי ונסמנו ב- D K K ( K n n Fee D Fee n ואם נסתכל על חוק גאוס הכללי אז: ρ Fee K K D v ρ Fee ρ Fee כמו כן אנו יודעים ש: K K D D נסתכל על שני גופים די-אלקטריים המונחים אחד מעל השני: נבנה משטח גאוסיאני בצורת קופסה כך שהעובי של הדפנות הצדדיות מאוד קטן כך שאין שטף דרכן. שטח הדפנות העליונה והתחתונה הוא. מאחר ואין פה מטענים חופשיים (אולי יש מטענים קשורים מחומרים הדי-אלקטריים אבל לא מתחשבים בהם אזי מקבלים: D D Fee n D ( D D D D פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
K K כעת נסתכל על הלולאה המלבנית הסגורה הבאה: עבור לולאה זו מתקיים: כי זה מסלול סגור. בהנחה ששני הקטעים האנכיים (הצדדיים של הלולאה שואפים לאפס אזי כדי שהתנאי הנ"ל יהיה נכון חייב להתקיים: ( לסיכום: במעבר מחומר די-אלקטרי אחד לשני הרכיב של D שניצב לשטח נשמר והרכיב של שמקביל לשטח גם נשמר. דוגמה : K K Kו- בין שני לוחות של קבל שמים שני חומרים די-אלקטריים K אחד מעל השני. מהי הקיבולת החדשה של הקבל? פתרון: K K הקבל הזה שקול למצב: K K. נחשב את הקיבולות של כל אחד מהקבלים: אנו יודעים ש: ואז: K K K K K K K K K K פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - n n D D σ σ K D σ K ש וניאר D D,הדשה ןוויכ תוחול לבק והזש ןוויכמ לבא לש ונוויכ םג ןכלו D, ןכל חטשל בצינ :ש הזמ םיקיסמ K K D D K K :הבושתה תא קודבנ ( K σ ( K K K K K K.תלוביקל יוטיבה ותוא תא ונלביק ןכאו : המגוד.ינשה דיל דחא םיירטקלא-ידה םירמוחה תא םיחינמ םעפה :ליבקמב םירבוחמה םילבק ינשל לוקש הז הרקמ ןכל : ב K K K K
K K נחשב את הקיבולות של כל אחד מהקבלים: ( K K K K ולכן: זהו קבל לוחות וראינו שעבורו מתקיים ומאחר ובקבל לוחות השדה ניצב לשטח אז. σ σ נחשב את הצפיפויות, נבנה מעטפת גאוסיאנית בצורה הבאה: K K K n σ ואז : K σ K σ.σ K σ לכן K ו- ( K ( K נציב במשוואה של הקיבולת: ( K K אנרגיה חשמלית של קבל: קבל טעון מכיל מטענים לכן יש בו אנרגיה חשמלית אגורה, U, משמעות האנרגיה הזו היא העבודה שצריך לבצע כדי להביא מטען לקבל. נראה למה שווה אנרגיה זו: בכל פעם נביא מטען תרומת האנרגיה של כל מצב כזה היא: ונעבור מהמצב של מטענים על הקבל למצב של מטענים.. u פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
6 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - : דע ספא ןעטממ היצרגטניא עצבנ לבקה לע תללוכה היגרנאה תא לבקל ידכ [ ] u U :איה לבקב הרוגאה היגרנאה רמולכ U :לבקנ תויגרנאה ןיב סחיה לע לכתסנו לבקל ירטקלא-יד רמוח סינכנ םא K U U -.ילמשחה הדשה לש רוזאב תאצמנ לבקב תילמשחה היגרנאה - היגרנא תופיפצ םג שי ילמשח הדש וב שיש םלועב םוקמ לכב.u תא בשחנ :לבקה תוחול ןיב תילמשחה היגרנאה תופיפצ :ןכל חפנ תדיחיל היגרנאה תומכ תויהל תרדגומ היגרנאה תופיפצ ( ( U u oume oume u!ילמשח הדש ליכמש בחרמב רוזא לכל הנוכנ ל"נה החסונה :הבושח הרעה :המגוד סוידרב ךילומ רודכ ונל שיש חיננ. ןעטמב ןועטש -.תונוש תוטישב רודכה תא ןועטל ידכ השורדה הדובעה תא בשחנ. :דחא דחא םינעטמה תאבה י"ע ןעטמ לכ לש היגרנאה תמורת איה איבנש : u
7 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - ןכל : u U 8. :ןעטמה תופיפצ יפל U 8 ρ ρ ρ. :החסונה יפל תורישי ( U 8. :היגרנאה תופיפצ יפל u U
זרמים והתנגדות: ראינו עד עכשיו שבתוך מוליך אין שדה חשמלי, זה נכון עבור המצב הסטטי. אבל אם נפעיל אנרגיה חשמלית באופן ממושך על המוליך נקבל שדה חשמלי בתוך המוליך שיגרום לתנועת אלקטרונים. זרם חשמלי: תנועת מטען חשמלי בתוך מוליך. נסתכל על חתך של תיל מוליך. כמות המטען ליחידת זמן שעוברת דרך חתך זה נקרא הזרם. היחידות של הזרם: [ ] oom [ ] [ ] Sec mpe הערה: לא משנה איפה נמצא שטח החתך שמסתכלים דרכו או מהו השטח שלו תמיד נקבל את אותו הזרם, זה קורה בגלל חוק שימור המטען כי כל מטען שנכנס דרך חתך מסוים חייב לצאת דרך כל חתך אחר. הערה: הכיוון של הזרם במוליך הוא כיוון תנועת המטענים החיוביים. הגדרה: צפיפות הזרם הזורם דרך מוליך, j, מוגדרת להיות כמות הזרם ליחידת שטח. אם המוליך הוא בעל סימטריה אחידה אז: ובצורה הכללית: j j j פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 8
אם השדה שמפעילים בתוך מוליך הוא קבוע אזי למרות שעל המטענים במוליך יפעל כוח הם ינועו במהירות כמעט קבועה (כי הם מתנגשים כל הזמן באטומים של המוליך, מהירות זו של המטענים נקראת מהירות הסחף. נחשב אותה: v נסתכל על מוליך שדרכו זורם זרם כתוצאה משדה חשמלי שהפעלנו עליו. נסמן את מהירות הסחף ב v ואז כמות המטענים שיעברו דרך החתך בזמן הם המטענים שנמצאים בתוך הגליל האמצעי הקטן. v ne לכן: מטען האלקטרון צפיפות האלקטרונים צפיפות נפח הגליל המטען v ne v ne j ne v v ne j ne דוגמה: נניח שבחוט נחושת בעל קוטר.5mm ואורך של ס"מ זורם זרם של. מהי מהירות הסחף של האלקטרונים? המספר האטומי של נחושת הוא 6 כלומר בכל 6 גרם נחושת יש מספר אבוגדרו של. ρ 9 g cm אטומים( 6 ( וצפיפותו היא j.5 mp cm פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 9
n 96 6 מהנתונים של השאלה נחשב את צפיפות האלקטרונים: v j ne cm 9.6 ולכן מהירות הסחף תהיה: sec כפי שניתן לראות מהירות הסחף של האלקטרונים מאוד נמוכה, במקרה זה לוקח להם שניות לעבור סנטימטר אחד! j. נסתכל על מעטפת סגורה שדרכה יוצא מטען. כמות המטען שיוצא ליחידת זמן יהיה: j מחוק שימור המטען כל מטען שיוצא החוצה יחסר בפנים לכן : נפתח את הנוסחה: S j ( j ρ ρ ( j ρ j ρ ρ j j זהו חוק שימור המטען המקומי: וזאת הצורה האינטגראלית שלו: פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
התנגדות: התנגדות: זה היחס בין המתח לזרם של רכיב חשמלי מסוים. נסתכל על המוליך הבא: ההתנגדות שלו בין הנקודה לנקודה מוגדרת כ: ממה שלמדנו עד כה ניתן לרשום את ההתנגדות גם בצורה הבאה: v v j היחידות של ההתנגדות: [ ] o [ ] Ohme ( Ω [ ] mp בנוסף לקשר המיקרוסקופי בין הזרם, המתח וההתנגדות צפיפות הזרם, השדה החשמלי וההתנגדות הסגולית, קשר זה הוא: ישנו גם קשר מקרוסקופי בין. ρ j אם נסתכל על מוליך אחיד באורך אז: - ρ j כעת נסתכל על גליל חלול בעל רדיוס פנימי וחיצוני והתנגדות סגולית. ρ L מפעילים הפרש מתחים בין החלק הפנימי לחלק החיצוני של הגליל. מהי התנגדותו? < ( < ונחשב את השדה: נבנה משטח גאוסיאני גלילי בעל רדיוס ( n L n פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - הרוצהמ אוה ילמשחה הדשהש קיסהל ןתינ הנורחאה החסונהמ : D D רשאכ.והשלכ עובק :D תא אצמנ :ןכלו קחרמב ןכל :םייקתי :תודגנתהה תא בשחל רשי ןתינ הפמו D D n n ( ρ ρ j n ( L j ρ n ρ L n L ρ n
הספק חשמלי: נסתכל על המעגל הבא, הסוללה יוצרת הפרש פוטנציאלים קבוע בין הנקודה לנקודה כאשר ה"קופסה" שביניהם מייצגת עומס כלשהו (נגד / מנורה / קבל /... רוצים לדעת כמה אנרגיה הסוללה מספקת או כמה אנרגיה העומס צורך? U ההספק הוא כמות העבודה ליחידת זמן לכן: P U יחידות ההספק: Ju oom [ P ] [ ] [ ] oom Sec Ju Sec מעגלים חשמליים וחוקי קירכהוף: # מוסכמות של מעגלים חשמליים: מקור מתח נקרא כוח אלקטרו מניע (כא"מ, הוא מספק הפרש מתחים קבוע ובכך גורם לזרימה של זרם. מסמנים את כיוון הפוטנציאל על הכא"מ מההדק השלילי להדק החיובי. כפי שכבר ראינו את כיוון הזרם מסמנים בכיוון תנועת המטענים החיוביים. את הפרש המתחים על נגד מסמנים כהפוך מכיוון הזרם (כי הזרימה היא מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך, כלומר מההדק החיובי להדק השלילי. חוק הלולאה של קירכהוף: - סכום המתחים סביב לולאה סגורה כלשהי הוא אפס. הסבר: כידוע סכום כל העבודה לאורך מסלול סגור כלשהו היא אפס לכן כדי שחוק שימור האנרגיה יתקיים החוק הזה חייב להיות נכון. הערה : אם המתח בכיוון הזרם הוא נחשב חיובי ואם הוא הפוך מכיוון הזרם הוא נחשב שלילי. במעגל המצויר משמאל לפי חוק הלולאה של קירכהוף: ( פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
חוק הזרמים של קירכהוף: כמות הזרם שנכנסת לצומת שווה לכמות הזרם היוצאת ממנה. - הסבר: חוק זה נובע ישירות מחוק שימור המטען. דוגמה : נסתכל על המעגל החשמלי הבא, עבור מעגל זה מתקיים: ( חיבור נגדים בטור: אם נרצה להחליף את הנגדים המחוברים בטור בנגד אחד אקוויבלנטי אז: כלומר בחיבור נגדים בטור ההתנגדות השקולה שווה לסכום ההתנגדויות. דוגמה : נסתכל כעת על המצב שבו הנגדים מחוברים במקביל: לפי חוק הזרמים של קירכהוף: e פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo
חיבור נגדים במקביל: אם נרצה להחליף את הנגדים המחוברים במקביל בנגד אחד אקוויבלנטי אז: e e דוגמה : נרצה לפתור את המעגל הבא: נסמן את כיווני הזרמים במעגל באופן שרירותי ונפתור לפי חוקי קירכהוף שלמדנו, אם זרם מסוים יוצא בסימן מינוס אז הכיוון שלו הפוך מזה שבחרנו. נכתוב את המשוואות ונפתור אותן: ( ( L ρ קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים שאותן אנחנו יודעים לפתור. דוגמה : נסתכל על הגליל מדוגמה קודמת, נרצה לדעת מהי ההתנגדות שלו? פתרון: הזרם יהיה בכיוון הרדיאלי כי זהו כיוון מפל המתחים, לכן נסתכל על הבעיה כאוסף של גלילים אחד בתוך השני עם רדיוס ועובי. במקרה זה הגלילים מחוברים כנגדים בטור לכן ההתנגדות הכוללת שלהם שהיא ההתנגדות של כל הגליל היא סכום ההתנגדויות כלומר:. ρ ρ L ההתנגדות של כל גליל כזה תהיה: ρ ρ L L [ n( ] לכן: ρ n( L זוהי בדיוק אותה תוצאה שקיבלנו בפעם הקודמת. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
6 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :5 המגוד :אבה לגעמה לע לכתסנ עגרב בר ןמז ירחאש דע לבקה לע רבטצמ ןעטמה,גתמה תא םירגוס.מ"אכל הווש היהי וילע םילאיצנטופה שרפה יכ םרז היהי אל :לגעמה תא חתננ לבקה לע היגרנאל הווש לגעמל קפסמ קפסהש קפסהה היגרנאה רומישמ.ךרוצ דגנהש היגרנאה תפסותב :החסונל תאז םגרתנ ב קלחנ םא :,תיראיניל ר"דמ ונלביק :הלחתהה יאנת תא אצמנ התוא רותפל ידכ - :ןכל ספא היה לבקה לע ןעטמה הלחתהב (. - היהי לבקה לע חתמה ףוסב ןכל : (. שוחינה יפל ר"דמה תא רותפל לכונו הלחתה יאנת ונל שי תעכ : :לבקנו האוושמב ביצנ.ה.ת תא ביצנ :לבקנו לבקה לע היגרנאה ךרוצ דגנהש היגרנאה קפסמ קפסהש היגרנאה ( ( e α e e ( α α α ( e α α ( α α e e ( ( (
והגרפים של המטען והזרם על הקבל יהיו: ( ( דוגמה 6: נעבור כעת למעגל המשלים של המעגל הקודם (פריקת קבל, אחרי שהקבל נטען במלואו מעבירים את המפסק ממצב למצב. מחוק קירכהוף על הלולאה הימנית מקבלים: זוהי משוואה דיפרנציאלית, נרשום אותה בצורה אחרת: ( e α. (. ( ( ( : כדי לפתור אותה נמצא את תנאי ההתחלה: בהתחלה המטען על הקבל היה: בסוף המטען על הקבל יהיה אפס לכן כעת יש לנו תנאי התחלה ונוכל לפתור את המד"ר לפי הניחוש : e e נפתור את המד"ר ונקבל: - - ( ( והגרפים יהיו: פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 7
מגנטיות: חוק לורנץ: על כל מטען חשמלי שנע במהירות פועל כוח שתלוי במהירות שלו, בשדה החשמלי ובשדה המגנטי שבהם הוא נע. הנוסחה של כוח זה היא: F v ובפרט גודל הכוח שהשדה המגנטי מפעיל על החלקיק הוא: F v snθ (, v Wee [ ] Tes m יחידות השדה המגנטי:. Tes Gues כאשר: KGues דוגמה : באזור מסוים במרחב יש שדה מגנטי אחיד הניצב למשטח בכל הנקודות בכיוון פנימה אלקטרון נע במהירות v. על האלקטרון יפעל כוח מגנטי ששווה ל:. F ev נשים לב שלמרות שהמכפלה הווקטורית נותנת וקטור שכיוונו e v F כלפי מעלה הכיוון האמיתי של הכוח הוא כלפי מטה כי המטען של האלקטרון הוא שלילי! בגלל שהכוח שנוצר ניצב למהירות של האלקטרון אזי הוא לא ישנה אותה, אבל הוא כן ישנה את כיוונה. לכן האלקטרון ינוע במקרה זה בתנועה מעגלית ברדיוס ומהירות קבועים. הכוח המגנטי במקרה זה הוא כוח צנטריפוגלי וראינו בפיסיקה שהוא m e v שווה לערך ולכן: evsn(9 o m e v e m e v ω פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 8
הערך ω שחישבנו הוא המהירות הזוויתית של האלקטרון, כפי שניתן לראות מהתוצאה m e מהירות זו תלויה רק במטען ובמסה של החלקיק. לכן תדירות זוויתית זו מאפיינת כל חלקיק לפי תכונותיו והיא נקראת תדירות הציקלוטרון. - נסתכל על קבל לוחות אינסופי כאשר הלוח העליון שלו טעון חיובית והלוח התחתון טעון שלילית. בנקודה שנמצאת בחצי המרחק בין שני הלוחות נותנים לחלקיק מהירות התחלתית v. כתוצאה מהשדה החשמלי של הקבל יפעל על החלקיק כוח כלפי מטה שיגרום לתאוצה כלפי מטה,זוהי תנועה בליסטית לכן המטען ינוע בפרבולה. - כעת נפעיל שדה מגנטי בתוך הקבל בכיוון פנימה שניצב לכיוון השדה החשמלי. הכוח שיפעל על החלקיק במקרה זה הוא: F v F ( yˆ ( vyˆ נרצה שהחלקיק ישמור על כיוון תנועתו ההתחלתי לכן נדרוש ששני הכוחות, החשמלי והמגנטי, יהיו שווים. כלומר: F v F v שימוש חשוב של הנוסחה הנ"ל הוא יצירת פילטר מהירויות לחלקיקים, בעזרת פילטר זה ניתן לייצר אלומת חלקיקים עם מהירות אחידה. נותנים לחלקיקים תנע מסוים ומעבירים אותם דרך קבל כמו זה שראינו לעיל, מכוונים את השדה החשמלי והמגנטי כך שהיחס ביניהם ייתן את המהירות שרוצים עבור החלקיקים, ובקצה הקבל שמים מחיצה עם חור בנקודה שנמצאת מול נקודת היציאה של החלקיקים. וכך רק חלקיקים עם המהירות שרצינו יוכלו להמשיך בקו ישר ולצאת מהמחיצה. v פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 9
תיל מוזרם בשדה מגנטי: ראינו שעל מטענים שנעים בתוך שדה מגנטי תמיד יפעל כוח לכן על תיל מוזרם שנמצא בשדה מגנטי יפעל כוח כי יש בתוכו תנועה של מטענים. נחשב את הכוח הזה: נחלק את התיל לחלקיקים קטנים המטען יהיה:, על כל חלקיק כזה ne נפח החתך צפיפות המטענים v j ne מהירות הסחף של האלקטרונים תהיה: ne כל מה שנשאר זה להציב במשוואת הכוח שפועל על מטענים ולקבל את הכוח שפועל על כל חתך F v ne F snθ F ( ne snθ וכדי לקבל את הכוח הכללי שפועל על אורך מסוים של התיל פשוט מבצעים אינטגרציה. דוגמה : מהו הכוח שפועל על תיל באורך L שמוזרם בזרם ימינה ונמצא בשדה מגנטי בכיוון פנימה וניצב לזרם? F L F L פתרון: כיוון הכוח לפי כלל יד ימין הוא כלפי מעלה וגודלו: L L פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
דוגמה : נסתכל על התיל המוזרם הבא שנמצא בשדה מגנטי. מהו הכוח הפועל עליו? פתרון: לפי הדוגמה הקודמת ניתן לראות שהכוחות הפועלים על שני החלקים הישרים של התיל הם: F F נעבור לחישוב החלק המעגלי. מהסימטריה ניתן לראות שהחלקים האופקיים של הכוחות שפועלים על כל חתך מתבטלים ולכן נוכל להסיק ש: θ F To והכוח הכולל יהיה: F F ( ˆ קיבלנו את אותו הכוח שהיה פועל על התיל אם הוא היה ישר מתחת למעגל! את הסיבה לזה נראה בהמשך. F F F sn θ snθ F snθθ snθθ F ˆ F F F F F F F ˆ - דוגמה : נכניס לולאה מלבנית מוזרמת לתוך שדה מגנטי. ברור שמתקיים: F F כלומר שקול הכוחות על הלולאה הוא אפס. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
F הלולאה במבט מהצד: נסתכל על כפי שניתן לראות מומנט הכוח של הלולאה אינו אפס. זה שהכוח המגנטי יסובב את הלולאה עד שתהיה מה שיקרה פה ניצבת לכיוון השדה. F המומנט יחסית למרכז: נחשב את F θ θ τ F snθ F snθ τ ( snθ τ snθ ( F ( snθ τ שנקרא מומנט דיפול מגנטי: נגדיר גודל חדש ˆ ו- זה הזרם. כאשר N הוא מספר הליפופים (במקרה שלנו זה, זה שטח הטבעת בלולאה. הדיפול המגנטי נקבע לפי כלל יד ימין לפי כיוון הזרם הכיוון של מומנט ShOo פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 5
לכן נוכל לכתוב את משוואת המומנט בצורה הבאה: τ snθ τ יהיה בכיוון של השדה המגנטי. הטבעת נמצאת במצב שווי משקל יציב. ומכאן ניתן להסיק: המומנט יפעל עד ש - אם המצב הוא כזה: - אם המצב הוא כזה: הטבעת נמצאת במצב שווי משקל לא יציב. - במצב כזה כל הפרעה קטנה תגרום לתזוזה של הלולאה שתתחיל להסתובב ב 8 מעלות עד שהיא תגיע למצב הקודם ותעצור. במצב הראשון האנרגיה הפוטנציאלית היא הכי נמוכה ובמצב השני היא הכי גבוהה. כעת נבחר את המצב הבא להיות המצב עם אנרגיה פוטנציאלית אפס (אנרגיה פוטנציאלית תמיד נמדדת ביחס לנקודת אפס ונראה מה יהיה השינוי באנרגיה של הטבעת עם שינוי הזווית θ. θ U U θ 9 τ θ o θ 9 snθθ o θ cosθ o cosθ 9 U לכן עבור המצב הראשון שראינו האנרגיה הפוטנציאלית תהיה האנרגיה הפוטנציאלית תהיה ועבור המצב השני U. U פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
אפקט הול: ראינו שבזרם תנועה של מטענים חיוביים תהיה בכיוון הזרם ותנועה של מטענים שליליים תהיה בכיוון ההפוך כאשר שני המקרים שקולים ולא משנה איזו הגדרה בוחרים. נסתכל על האפקט הבא שבו הבחירה בכיוון הזרם כן משנה! בשני לוחות מוליכים זורם אותו זרם באותו כיוון. שני המוליכים נמצאים בשדה מגנטי באותו כיוון ביחס לשניהם. את ההבדלה בין שני המצבים נעשה ע"י הגדרת הזרם בלוח הראשון כתנועת המטענים החיוביים בכיוון הזרם ובשני ע"י הגדרתו בלוח השני כתנועת המטענים השליליים בכיוון ההפוך לזרם. (I (II F m v v F m ואז: במצב הראשון יפעל על המטענים החיוביים כוח ימינה והם יתחילו לזוז ימינה כך שמטען חיובי יצטבר על הצד הימני של הלוח, כתוצאה מזה יצטבר מטען שלילי על הצד השמאלי שלו. ממצב זה נוצר הפרש פוטנציאלים בין שני הצדדים של הלוח מימין לשמאל. במצב השני גם יפעל על המטענים השליליים כוח ימינה והם יתחילו לזוז ימינה ומטען שלילי מצטבר על הצד הימני של הלוח, כתוצאה מזה יצטבר מטען חיובי על הצד השמאלי שלו. ממצב זה נוצר הפרש פוטנציאלים בין שני הצדדים של הלוח אבל משמאל לימין (הפוך מהמקרה הקודם. כתוצאה מהפרשי הפוטנציאלים יפעל בתוך המוליך שדה חשמלי שניצב לכיוון של הזרם. והמשוואה הווקטורית תהיה: F H H v H H v H v v מה שמיוחד פה שאם הופכים את כיוון הזרם אז גם הכיוון של השדה החשמלי של אפקט הול מתהפך. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 5
H H v ne, נציב במשוואה הנ"ל ונקבל: v j ne ne ראינו ש: n e H כלומר קיבלנו שיטה למציאת צפיפות המטען בתוך מוליך! חוק אמפר: סביב תיל מוזרם נוצר שדה מגנטי היקפי שכיוונו נקבע לפי כלל יד ימין. חוק אמפר: עבור לולאה סגורה במרחב, אם נחלק אותה לקטעים ללולאה בכל נקודה ונקודה אזי מתקיים: המשיקים I כאשר I היא סכום כל הזרמים שיוצאים מהלולאה בכיוון יד ימין ביחס. 7 Tes m mp לכיוון של ו- דוגמה : נרצה לדעת מהו השדה המגנטי במרחק מתיל מוזרם אינסופי? פתרון: נבחר לולאה שמרכזה בתיל. מהסימטריה יהיה תלוי רק במרחק ולכן כיוונו יהיה משיקי. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 55
F F. דוגמה : שני תילים אינסופיים מוזרמים נמצאים במרחק זה מזה. פתרון: כפי שראינו בדוגמה הקודמת כל תיל מייצר מאחר שהשדה שכל אחד מהם מייצר מגיע גם לאזור בו נמצא התיל F השני יפעל עליו כוח בכיוון התיל הראשון. F מאחר והתיל אינסופי נחשב כוח ליחידת אורך: על שני התילים יפעל אותו כוח רק בכיוון הפוך ושניהם ימשכו אחד את השני. נשים לב שאם כיווני הזרמים היו דומים הם היו דוחים אחד את השני. דוגמה : בצינור אינסופי עם רדיוס פנימי וחיצוני זורם זרם אחיד, מהו השדה המגנטי שהוא יוצר בכל נקודה בעולם? פתרון: נבנה טבעת אמפירית עם רדיוס סביב הגליל ונפעיל עליה את חוק אמפר. נחלק את הבעיה ל- מצבים: : < בחלק הפנימי של הצינור לא עובר זרם לכן: : < < ( בהכפלת הזרם ביחס בין השטחים מקבלים את הזרם דרך השטח עד לרדיוס. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 56
: > כפי שניתן לראות קיבלנו את הנוסחה של תיל אינסופי! < מה יקרה אם? במקרה זה השדה בחוץ לא ישתנה, לעומת זאת השדה בפנים יהיה - ( וההתנהגות של השדה המגנטי תהיה: סליל אינסופי: נרצה לחשב את השדה המגנטי שיוצר סליל אינסופי. מאחר ויש פה סימטריה גלילית לכן תלוי רק ב, אם משתמשים בכלל יד ימין לכל לולאה אפשר לראות שבמקרה שלנו הוא יהיה בכיוון החיובי של ציר הסימטריה. כדי לחשב מהו השדה נבנה טבעת מלבנית שחצי ממנה נמצא בתוך הסליל במרחק מהציר והחצי השני מחוץ לסליל ונשתמש בחוק אמפר. D פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 57
, נפעיל את חוק אמפר: D D D נוכיח בהמשך שהשדה מחוץ לסליל הוא אפס לכן ( n מספר הכריכות ליחידת אורך לסיכום: מתאפסים כי השדה בהם ניצב ל n השדה בתוך סליל: השדה בתוך סליל עם N שכבות: D n נוכיח שמחוץ לסליל השדה הוא אפס: נבנה טבעת אמפירית שכולה מחוץ לסליל ונפעיל את חוק אמפר: גם פה אם יש שדה הוא יהיה לאורך ציר Z לכן: D ( D כלומר קיבלנו שהשדה בחוץ לא תלוי במרחק, אם נלך לאינסוף אז חייב להתקיים כלומר. בכל נקודה אחרת מחוץ לסליל טורואיד: אם נסובב את הסליל ונסגור אותו נקבל טורואיד, נחשב את השדה המגנטי שטורואיד יוצר. - מאותם שיקולי סימטריה של סליל השדה המגנטי מחוץ לטורואיד הוא אפס. - גם בתוך הטורואיד השדה המגנטי הוא אפס כי אם נבנה טבעת אמפירית שם שום זרם לא עובר דרכה ולכן צד ימין של משוואת חוק אמפר יתאפס ולכן השדה הוא אפס. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 58
- בין הסלילים של הטורואיד כן יש שדה, נחשב אותו: נבנה טבעת אמפירית במרחק מהמרכז ואז אם N מס' הכריכות של הטורואיד: חוק ביו-סבר: נסתכל על תיל שדרכו זורם זרם. נבחר קטע כלשהו מהתיל. שזנבו באמצע הקטע וראשו בנקודה כלשהי במרחב. נצייר וקטור השדה המגנטי שיוצר חלק זה של התיל בנקודה הזאת הוא: ˆ חשוב: לשים לב ש ˆ במשוואה הוא וקטור יחידה! דוגמה : x x θ θ בתיל אינסופי זורם זרם, מהו השדה המגנטי במרחק ממנו? ˆ sn snθ sn( θ פתרון: θ פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 59
6 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - -!רפמא קוח יפל םדוקמ ונאצמש האצותה התוא תא ונלביק ןכאו : המגוד לע תמרזומ תעבט תרציימש יטנגמה הדשה תא בשחנ לע הדוקנ.הלש הירטמיסה ריצ םיעטקהמ דחא לכ לש הדשל תומורתה לכש ךכ הירטמיס םהיניב שי רמולכ לגעמ םירצוי ןוויכב היהי יללכה הדשהו םילטבתמ םייכנאה םיביכרה.x :ותוא בשחנ ריצב םיקלחה לע היצרגטניא עצבנ x :דבלב x ϕ xˆ xˆ x ˆ x sn ϕ x x
6 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :ונלביק םא םילבקמ x רשאכ :(ילמשח לופיד טנמומ אוה : המגוד לעב לילס לש הירטמיסה ריצ לע הדוקנב יטנגמה הדשה תא בשחנ תועבט n.חטש תדיחיל - לכונ ןכל תודומצ תועבט לש ףסוא הז לילס עודיכ.תמדוקה המגודה לש האצותב שמתשהל לכ לש המורתה :איה יללכה הדשל יפוסניא לילס לש הרקמב L :לבקנ זאו!יפוסניא לילס רובע ונלביקש האצותה קוידב יהוזו ( x x ( x x x x L ( n ( ( L L n n L L n L L n L
D - נוכיח שוב שהשדה המגנטי מחוץ לסליל הוא אפס בדרך אחרת: נבנה לולאה שחצי ממה בתוך הסליל והחצי השני מחוצה לו כך שהחלק הפנימי שלה נמצא על ציר הסימטריה. n Ou נפעיל את חוק אמפר: ( n Ou - נוכיח שבכל נקודה בתוך הסליל יש את אותו השדה: נבנה לולאה שכולה נמצאת בתוך הסליל ונפעיל עליה את חוק אמפר, הלולאה לא מכילה זרם לכן:, ( סיכום ביניים: חוק קולון / גאוס חוק אמפר / ביו-סבר נראה בהמשך פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 6
שדות משתנים בזמן: תנועת מגנט בתוך טבעת סגורה גורמת לזרימת זרם מושרה בתוכה. ניתן להגיד שהשינוי היחסי בין המגנט לטבעת גרם לכא"מ מושרה שגרם לזרם מושרה בטבעת. חוק פאראדי: שינוי של השטף המגנטי באזור שבו נמצאת לולאה סגורה גורם לכא"מ מושרה וזרם בלולאה. כאשר הוא הזרם המושרה בלולאה, N מספר הליפופים ו-. Φ הלולאה Φ Φ השטף של השדה המגנטי דרך [ Φ ] [ ] [ ] Tesm Wee יחידות: [ Φ ] [ ] m [ ] m [ ] [ ] m o [ ] sec m sec sec [ ] [ ] [ ] [ v] m [ ] [ ] sec [ ] m sec נשים לב שכאשר אין שינוי בשטף המגנטי אז v Φ ואין כא"מ מושרה. פה יש מערכת של פידבק שלילי ולכן יש מינוס בנוסחה, כלומר אם יש שינוי בשטף המגנטי הוא יגרום לכא"מ מושרה שיוביל לזרימת זרם בלולאה, הזרם הזה ייצר שדה מגנטי שינסה לבטל את הגורם שיצר אותו, כלומר ינסה לחזור למצב ההתחלתי שלו. - דוגמה: אם נקרב מגנט ללולאה השטף המגנטי בתוכה יגדל ולכן יזרום זרם דרכה בכיוון המסומן בציור. לפי כלל יד ימין זרם זה ייצר שדה מגנטי שמאלה שינסה להקטין את השינוי בשדה שיצר אותו. (כלומר: השדה גדל והזרם ינסה להקטין אותו ולהחזירו לערך המקורי שלו פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 6
Φ x v כעת נסתכל על אזור במרחב עם שדה מגנטי אחיד פנימה (כמו בציור משמאל לולאה העשויה מחומר מוליך נמצאת בחלקה בשדה המגנטי ונעה החוצה במהירות קבועה. השטח שנמצא בתוך אזור השדה המגנטי קטן עם הזמן ולכן השטף של השדה המגנטי קטן. במקרה הזה הזרם יזרום בצורה כזאת שהשדה שהוא יוצר הוא בכיוון השדה המקורי כי השטף קטן עם הזמן והזרם ינסה להחזיר אותו לערך ההתחלתי (להגדיל אותו. Φ ( x v v x השטף יהיה: ולכן: והזרם יהיה: F F F עכשיו קיבלנו מצב של לולאה מוזרמת שנעה בתוך שדה מגנטי לכן יפעלו עליה כוחות. v F לכן הם מבטלים אחד את השני. F נשים לב ש- כדי שהמהירות תישאר קבועה עם הזמן צריך להפעיל על הטבעת כוח ימינה שיבטל את הכוח השמאלי וימנע היווצרות תאוצה. נחשב למה שווה הכוח הזה: F F v v למה שווה ההספק של כוח זה? v P F Fv F v האנרגיה הזאת של הכוח גורמת לכא"מ מושרה בטבעת (אנרגיה חשמלית שמייצר זרם שגורם לחום בגלל ההתנגדות של הלולאה, נראה שההספק של ההתנגדות שווה בדיוק לאנרגיה זו: v v P F P פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 6
דוגמה : בתיל אינסופי זורם זרם, לולאה מתרחקת מהתיל במהירות קבועה v. x v במקרה זה השדה המגנטי הולך וקטן ככל שמתרחקים מהתיל לכן השטף בלולאה הולך וקטן ולכן הזרם שנוצר ינסה להקטין את השינוי בשטף כלומר ינסה להגדיל את השטף של השדה החשמלי וזה קורה רק אם הזרם יזרום בכיוון השעון. ככל שמתרחקים מהתיל השדה המגנטי נהיה יותר חלש לכן גם השטף שלו יקטן מה שיגרום לכא"מ המושרה ולזרם לקטון. כעת נסתכל על הבעיה בצורה אחרת: הפעם יש לנו מסילה מוליכה עם נגד ומוט מוליך שנע לאורכה, נשים לב שלמרות שהשטף הולך וגדל השינוי בשטף גם כאן x הולך וקטן כי ככל שמתרחקים מהתיל יש פחות קווי שדה, לכן הזרם ילך ויקטן עם הזמן. עם זאת הכיוון של הזרם במקרה הזה הוא נגד כיוון השעון וזאת בגלל שהשטף של השדה הולך וגדל עם הזמן כי כל הזמן נוסף שטח וכיוון הזרם הפעם יהיה כך שינסה להקטין את השטף כלומר הוא יגרום לשדה מגנטי בכיוון הפוך לשדה המקורי. v ' x, נחשב את השטף שלו: ' x כפי שראינו השדה החשמלי של תיל אינסופי הוא: Φ x x' ( x' פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 65
Φ x x' x' x' x x ( x' n לכן הכא"מ המושרה יהיה: Φ v x ( n( x n( n x ( x x v x v Loop ( x ומכאן הזרם בטבעת יהיה: הערה: כאשר תיל מוליך חותך קווי שדה שניצבים לו נוצר כא"מ מושרה בין הקצוות שלו. v אם נסתכל שוב על הדוגמה הקודמת (של הלולאה הנעה בשדה מגנטי ראינו ש, v כא"מ זה יפעל בין הקצוות של החלק השמאלי של הלולאה כלומר בין הנקודות ו-. כמו כן אם נסתכל על אלמנט קטן של הקטע בין הקצוות שלו יהיה. הפרש פוטנציאלים של v דוגמה : מסובבים מוט מוליך במהירות זוויתית ω בשדה מגנטי. מה יהיה הפרש הפוטנציאלים בין ו- O? L θ O ω v L v ראינו שבכל קטע של המוט יתקיים: L ( ω לכן: L L ω ( ω ω L פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 66
67 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :ילמשחה ףטשב יונישה יפל מ"אכה בושיח י"ע ןוכנ הזש הארנ ומניד לש לדומ / :רוטארנג,הריצ ביבס תבבותסמו עובק יטנגמ הדשב תאצמנש האלולמ בכרומ ילמשח רוטארנג לש הצק לכ האצותכ םרז לבקתמו תרגסנ האלולה תועבטה יתש תא םירבחמ םאש ךכ תעבטל רבוחמ האלולה.הרשומה מ"אכהמ :דגנב םורזיש הרשומה םרזה תא בשחנ היהת םרזה תוגהנתה רמולכ : θ θ Φ ω θ Φ ω ( Φ ω cos ( ( ( Φ ω ω ω sn cos ( ω ω sn
כמובן שבמקרה הנ"ל יכולנו לקבע את הלולאה ולשנות את השדה המגנטי בזמן ואז גם היינו מקבלים זרם בנגד כתוצאה מהשינוי בשטף של השדה המגנטי דרך הלולאה. כעת נוכל לסכם:, חוק קולון / גאוס חוק אמפר / ביו-סבר חוק פראדיי כעת נניח שיש אזור במרחב שמכיל שדה מגנטי אחיד אבל גדל עם הזמן כלומר < ובתוכו מונחת לולאה ברדיוס. לפי חוק פראדיי נקבל ש- Φ כלומר בגלל השינוי בשטף של השדה המגנטי נוצר כא"מ מושרה מה שאומר שנוצר שדה חשמלי. בגלל הסימטריה השדה החשמלי יכול להיות או רדיאלי או משיקי. נניח בתוך הגליל מעטפת גלילית סגורה, נניח שהשדה החשמלי היה רדיאלי, לפי חוק גאוס השטף של השדה החשמלי דרך המעטפת הגלילית שונה מאפס אבל אנו יודעים שבתוך המעטפת הזאת אין מטען לכן השדה החשמלי הנוצר חייב להיות משיקי כי אז השטף של השדה החשמלי דרך המעטפת הגלילית יהיה אפס מה שמסתדר עם זה שאין מטענים בתוכו. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 68
69 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :ילמשחה הדשה תא בשחנ :זא הנטקה האלולה לע לכתסנ םא :היהי הרשומה מ"אכה ןכלו :יכ םיעדוי ונא לבא :לבקנו םילדגה ינש ןיב הוושנ ךלוה רצונש ילמשחה הדשה תוארל ןתינש יפכ לדגו.ילאידרה ןוויכב םיקחרתמש לככ רשאכ ילמשחה הדשה תא בשחנ > : :היהת ילמשחה הדשה תוגהנתה :זא םהיניב םילאיצנטופה שרפה לע לכתסנו בחרמב תודוקנ יתש רחבנ םאש בל םישנ רשאכ רמשמ הדש אוה םייטטס םינעטממ רצונש ילמשח הדשש רבכ וניאר!רמשמ הדש וניא יטנגמ הדש לש ןמזב יונישמ האצותכ רצונש ילמשח הדש.הזכ הדשב םילאיצנטופ שרפה לע רבדל םעט ןיא ןכל Φ Φ Φ Φ
אם ניקח סליל ונשנה את הזרם דרכו עם הזמן אז השדה המגנטי שבתוכו גם ישתנה עם הזמן ואז גם השטף של השדה המגנטי ישתנה ויגרום לזרם מושרה בלולאות של הסליל שיהיה הפוך בכיוונו לכיוון הזרם הנכנס אליו. ננסח את חוק פראדיי כך שיתאים לסליל: Φ, מנוסחה זו מאחר והשדה המגנטי פרופורציונאלי ראינו כבר שלפי חור פראדיי: לזרם אז גם הכא"מ המושרה יהיה פרופורציונאלי לזרם. Φ נגדיר את מקדם ההשראות הטבעי של הסליל L ע"י הנוסחה: Φ L ( Φ ( L L ואז: קיבלנו שני חוקים אקוויבלנטים: יחידות: L, ככל ש- L יותר גדול הוא מעכב יותר את השינוי בזרם שעובר דרך הסליל. נסתכל על :L כפי שניתן לראות הכא"מ המושרה יהיה בכיוון הפוך לכיוון של השינוי בזרם ולכן הוא ייצר זרם בכיוון ההפוך. Φ L [ ] [ ] osec [ L ] [ ] mp Heny דוגמה: נרצה לחשב את מקדם ההשראות העצמית של סליל באורך ו- n ליפופים ליח' אורך. לכן (אם הוא שטח החתך של לולאות הסליל : Φ Φ n n n ראינו כבר שהשדה בתוך הסליל הוא ( n ( n L L n L תמיד מקדם ההשראות של סליל יהיה מהצורה: משהו עם יחידות אורך פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 7
7 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :המגוד ולש תימצעה תוארשהה םדקמ והמ,ינבלמ ךתח םע דיאורוט ןותנ?L :ןורתפ רובע סואג קוח יפל < < : קחרמב יטנגמה הדשה לש ףטשהש תוארל ןתינ הנוש והשלכ.רחא קחרמב הדוקנב ףטשהמ לכ ךרד ףטשה תא אוצמל ידכ ןכל :האבה היצרגטניאה תא עצבנ דיאורוטה לש ינבלמ ךתח :זאו h ( Φ h h Φ h n L h Φ n h L n
נסתכל על המעגל הבא: אם הסליל לא היה שם דרך הנגד היה זורם זרם ישיר לפי הנוסחה. - אחרי סגירת המפסק הסליל לא ייתן לזרם לעלות ישר כי הכא"מ המושרה בתוכו ינסה לעכב את השינוי בזרם. L L L L נכתוב את חוק קירכהוף עבור הלולאה הזאת: ( /τ ( e e τ ואז:, ( תנאי ההתחלה שלנו יהיו נציב במד"ר: τ τ L ( e / / L τ τ L L נציב את תנאי ההתחלה: L ( L e / ( L כלומר קיבלנו: כפי שניתן לראות ככל ש- L יותר גדול הסליל מעכב את הזרם יותר זמן: L >L > L L L פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 7
7 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :לילסב תילמשח היגרנא תילמשח היגרנא הרוגא םרזומ לילסב L U. :לילסב היגרנאו דגנב םוחל ךפוה רוקמה קפסמש קפסהה רשאכ לגעמה לש קפסהב יונישה תחסונ אוה יטנגמה הדשה והשלכ לילסבש וניאר n איה תוארשההו n L. :הלא םינותנ יפל לילסב היגרנאה תאוושמ תא חתפנ ( n U. :היהת חפנ תדיחיל היגרנאה תופיפצ ( ( n n חפנ U u תא אוצמל ןתינ וישכעש בל םישנ L :תרחא הטישב תא םיאצומ םישמתשמו ל"נה החסונה יפל היגרנאה תופיפצ תא םיבשחמ ונממו בושיחל הב ל האצותה תא םיוושמ זאו תיללכה היגרנאה L U תא םיצלחמו.L :המגוד.םיכופה םינוויכב קר םרז ותואב םימרזומ םהינש רשאכ רוניצ שי וביבסש לבכ לש ךתח לע לכתסנ :זאו סוידר םע תיריפמא האלול רחבנ L > > u ( u U n( n( L U
7 הקיסיפ תויטנגמו למשח ShOo 9 - :הנושארה הטישב תכרעמה לש תוארשהה תא אצמנ תעכ ש וניאר :ןכלו.האצותה התוא תא ונלביק םירקמה ינשב תוארל ןתינש יפכ :הדוהת ילגעמ ןעטמב לבק םינעוט.לילסל ותוא םירבחמו לדגו ךלוהש הרשומ מ"אכ רצונ לילסב םרזהמ האצותכ.םרזה ןוויכל ךופהה ןוויכב :תכרעמה לש תיללכה היגרנאה לע לכתסנ היגרנאה לבא תיטנגמל תילמשח ןיב תפלחתמ תכרעמה לש היגרנאה הנתשמ אל תיללכה (היגרנאה רומיש קוחמ :ןכל :הרוצב ל"נה האוושמה תא בותכל לכונ :אוה הנורתפש cos( mx ϕ w רשאכ L w.!ינומרה רוטליסוא לש האוושמה יהוז :ןמזב תולתכ םרזה תאוושמ תא אצמנ ילאמיסקמ היהי לילסב םרזה ילאמינימ לבקב אצמנש ןעטמה םאש תוארל ןתינ ונחתיפש החסונה יפל אוה םרזהש ללגב הרוק הזה רבדה.ילאמינימ היהי לילסב םרזה ילאמיסקמ לבקב ןעטמה רשאכו לש םדקמ ותואו הזאפ התוא תא שי םהינשלו סוניסוק לש היצקנופ אוה ןעטמהו סוניס לש היצקנופ. Φ n( n Φ L L L L U U U L U L sn( sn( ( mx mx ϕ ϕ w I w w ( cos mx ϕ w U ( sn mx ϕ w I L L U ( ( sn ( cos mx mx ϕ ϕ w w L w U U U
mx U U U U U U U mx mx ( cos ( cos ( w ϕ Lw sn ( wϕ cos ( w ϕ L L w ϕ ϕ ( sn ( w U sn ( w ϕ mx U - זוהי משוואת האנרכיה במקרה זה וכפי שניתן לראות היא קבועה. נראה זאת בגרף הבא: U U U U U מעגל תהודה מרוסן: הקודם נגד אזי יהיה איבוד של אנרגיה שמתבזבזת אם נוסיף למעגל U. כהספק דרך הנגד. ואז ניתן להגיד ש קטנה בזמן אזי קצב השינוי באנרגיה לפי הזמן מאחר והאנרגיה U U U U. L יהיה: כמו כן ראינו ש הנ"ל ניתן להגיע למד"ר שתתאר את המערכת. משתי המשוואות ShOo פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 75
ישנם שלושה מצבים של מעגל תהודה מרוסן: : w > ריסון תת-קריטי כאשר L -. : w L. ריסון קריטי כאשר : w L. ריסון קריטי כאשר אילוץ במעגלי תהודה: נוסיף למעגל הנ"ל אילוץ ע"י כא"מ סינוסי. אם תדירות האילוץ תהיה שווה לתדירות העצמית של המעגל ω נקבל מצב של תהודה (רזוננס. cos( אזי המצב w כלומר אם משוואת האילוץ היא למשל של תהודה במערכת יתקיים כאשר. ω ω פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 76
משוואות מקסוול משוואות מקסוול האינטגראליות: נרשום סיכום קצר של המשוואות שלמדנו עד כה (בתוספת שנלמד בהמשך: חוק גאוס: חוק פאראדי: חוק אמפר: n Φ ( אם נסתכל על המשוואות, ו- נמצא שני הבדלים בולטים בין השדה החשמלי לשדה המגנטי: לשדה החשמלי ישנם משוואות: אחת עם אינטגרל קווי והשנייה עם אינטגרל משטחי. מטען במרחב מייצר שדה חשמלי וזרם מייצר שדה מגנטי. כלומר לשדה חשמלי יש מקורות סטטיים ולעומתו לשדה מגנטי אין מקורות סטטיים. - - נגדיר מונופול כמקור סטטי של שדה מגנטי, זהו מקור תיאורטי ואין דבר כזה במציאות. נוכל להסביר את השדה המגנטי שנוצר מסביב למגנט ע"י הצטברות של מונופולים בקצוות שלו, נשים לב שזה לא נכון כי אין דבר כזה במציאות. בטבע לא מוכרת אף תופעה שבה מטען נייח כלשהו יוצר שדה מגנטי, יצירת שדה מגנטי מותנית בזרימה של מטענים. נניח שתיאוריית המונופולים המגנטיים כן הייתה נכונה, אז אם היינו שמים את המונופולים בשדה מגנטי יפעל עליהם כוח בכיוון השדה אבל מכלל יד ימין אנו יודעים ששדה מגנטי פועל בכיוון ניצב לקווי השדה כלומר תיאוריית המונופולים לא נכונה! אז איך מגנט יוצר שדה מגנטי? במגנט ישנם טבעות זרימה של אלקטרונים והן אלה שיוצרות את הקטבים המגנטיים. גם בחומר לא ממוגנט יש טבעות זרימה של אלקטרונים אבל במקרה זה הן לא מסודרות וקווי השדה המגנטי מפוזרים לכל הצדדים ולכן אין שדה מגנטי. במגנט טבעות הזרימה מסודרות כמו בסליל ולכן הן יוצרות דיפול מגנטי. דיפול מגנטי: דיפול מגנטי הוא המקביל במגנטיות של הדיפול החשמלי. הכיוון שלו מתקבל לפי יד ימין כתלות בכיוון הזרימה של טבעות הזרימה. נשים לב שתופעה זו קיימת גם בסליל סופי (כי הוא מורכב מטבעות מוזרמות. פיסיקה חשמל ומגנטיות - 9 ShOo 77